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Discussione: Bussole

  1. #71
    Soldato
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    Scusate, Carta Serie 25, sezione scala 1:25.000

  2. #72
    Colonnello L'avatar di bacioch
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    Su una tavoletta al 25.000 non è che devi spaccare il millesimo,metti la bussola sulla carta ,assimili il nord rete al nord magnetico,e se c'è una declinazione magnetica importante farai gli aggiustamenti del caso,magari con l'aiuto di qualche punto rilevante.Tanto vai a piedi,e non è che puoi sgarrare di molto,l'importante sapere dove ci si trova.
    Se tracci invece una rotta su una carta nautica,magari per una grossa imbarcazione con consumi importanti è meglio che sei molto preciso.
    Le zone di anomalia,sono posti dove la bussola magnetica,magari per presenza di minerali ferrosi,non è molto affidabile
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  3. #73

    Predefinito Perché si chiama così?

    Salve a tutti, chiedo scusa per aver riesumato un thread il cui ultimo messaggio risale a più di un anno fa, ma mi ci sono imbattuto per caso e mi è venuto il desiderio di iscrivermi e postare un chiarimento a beneficio di iscritti e visitatori. Ovviamente, decideranno poi i moderatori/amministratori se procedere con ban, cancellazione del messaggio, chiusura del post, insulti o... Clemenza!

    Citazione Originariamente Scritto da CRS Visualizza Messaggio
    un grado millesimale è la millesima parte di un angolo piatto? Ho pensato che sia così, perchè facendo i calcoli mi risulta che l'angolo giro corrisponde a 64,8 millesimi e il valore millesimale più alto riportato sulla bussola è proprio 64.
    In realtà un grado millesimale non è un millesimo di un angolo piatto, anche se è vero che 32.4 = 1802 / 1000.

    Citazione Originariamente Scritto da bacioch Visualizza Messaggio
    se la domanda è:"Perchè li hanno chiamati millesimi anziché seimilaquattrocentomillesimi?" non lo so,ma presumo fosse troppo lungo e militari adorano le abbreviazioni
    No, il vero motivo non è quello, anche se la tua è una bella spiegazione!

    Per dare una risposta breve alla domanda di CRS, il sistema si chiama millesimale perché un grado millesimale è pari a un millesimo di radiante.
    Potrei non aggiungere altro, ma dato che ho fatto lo sforzo di iscrivermi per postare questo messaggio, tanto vale fare "il professorone" a beneficio di quelli (iscritti o visitatori) che non hanno fatto trigonometria, o si sentono arrugginiti. Via col pippone!

    Vi presento la circonferenza goniometrica.

    (figura trovata su Google immagini, presa da youmath.it e modificata con qualche dettaglio utile)

    È una circonferenza centrata all'origine degli assi cartesiani (punto O), il cui raggio è pari al segmento OP0. Quanto è lungo questo segmento? Non ci interessa, perché cambiandone la lunghezza avremo che la circonferenza cambierà in maniera solidale, mentre gli angoli resteranno sempre gli stessi. Diciamo quindi semplicemente che questa circonferenza ha raggio r. Per convenzione, in trigonometria gli angoli si tracciano in senso antiorario a partire dal punto con coordinate cartesiane [r;0], il nostro P0. L'angolo α in figura è un buon esempio.

    Nota a margine: usare una circonferenza centrata sull'asse cartesiano è utile (tra le altre cose) per avere una veloce corrispondenza di massima tra coordinate cartesiane e coordinate polari. Per chi non lo sapesse/ricordasse, il sistema di coordinate polari è un sistema alternativo a quello cartesiano in cui un punto, anziché essere identificato dalla coppia delle sue proiezioni sugli assi cartesiani (ovvero coordinate del tipo [x;y]), è identificato dalla coppia costituita dalla sua distanza dal centro e il suo (diciamo) azimut (ovvero coordinate del tipo [r;α]).

    Nel sistema di angoli basato sulla circonferenza goniometrica (che, per inciso, è lo standard del Sistema Internazionale), l'unità di misura degli angoli non è il grado sessagesimale, ovvero la trecentosessantesima parte dell'angolo giro, bensì il radiante. Cos'è un radiante? Beh, come potete vedere dalla figura, l'angolo α "sottende" un arco di circonferenza, qui indicato con P0P1. Una misura in radianti rappresenta il rapporto tra quest'arco e la lunghezza del raggio. In altre parole, se l'arco P0P1 misura r, allora l'angolo α misura 1 rad.
    Ho provato a misurare r e P0P1 con il metodo dello spago, e α sembra essere un po' meno di 1 rad, ma freghiamocene.

    Se ora un angolo giro non diciamo più che misura 360°, quanto diciamo che misura? Beh, come detto, una misura in radianti è data dal rapporto arco/raggio e nel caso dell'angolo giro abbiamo che l'arco sotteso è l'intera circonferenza. Ora: quanto misura una circonferenza in funzione del suo raggio? Esiste la ben nota formula
    C = 2 * π * r
    Per ottenere la misura in radianti dell'angolo giro, dobbiamo fare il rapporto tra questa formula e il raggio della circonferenza, ovvero
    C / r = 2πr / r = 2π
    Un angolo giro misura 2π rad, uno piatto misura π rad e, come avrete probabilmente sentito dire dall'amico sporcaccione che vuol fare il saccente, quando qualcuno sta a 90° si può dire che sta a π/2 ("pigrecomezzi").

    Potrei fermarmi qui e lasciare che la parte sui millesimi venga dedotta dai lettori sulla base di quest'ultima informazione e di ciò che ho scritto a inizio spiegazione, ma dato che lo scopo di questo thread è condividere informazioni e non fare gli s**onzi, proseguiamo.

    Come già anticipato, 1 rad = 1 * 1000°°, quindi quanti gradi millesimali varrà un angolo giro, sapendo che vale radianti? Varrà 2 * π * 1000°°, che fa... Rullo di tamburi... Non lo sappiamo. Il numero π è un numero irrazionale, ovvero un numero con infinite cifre "casuali" dopo la virgola. Tuttavia, se prendiamo per buono il valore imparato a scuola, ovvero 3.14, abbiamo che 2π rad = 6280°°, ce l'abbiamo fatta!
    Un attimo però, la bussola arriva fino a 64 ettogradi millesimali, ovvero 6400°°... Cosa non torna? Non c'è niente che non torni, semplicemente 62.8 è un valore molto scomodo da usare, quindi si è stabilito che per convenzione un angolo giro lo si considera di 64 ettogradi, ovvero 6400°°.

    Credo che il valore 64 sia stato considerato ottimale perché potenza di 2 (26), quindi si presta bene ai metodi di bisezione, ovvero quei metodi dove dividi un valore a metà, e poi a metà, e poi a metà e così via fino ad ottenere un valore abbastanza vicino a quello reale. Ho letto su questa pagina che tale valore è stato standardizzato dai militari statunitensi (NATO?), mentre i Paesi arabi e quelli russi (sovietici? Patto di Varsavia?) hanno scelto il valore tondo 6000. Si tratta di un'approssimazione ancor meno precisa dato che ha uno scarto di 280 unità rispetto al valore reale, mentre il nostro 6400 ne ha uno di 120 unità, ma 60 è comunque un ottimo numero. Come mi fece notare il professore di algebra 9 anni fa, il fatto che nella storia siano sorti vari sistemi numerali basati sul 60 (quello babilonese, quello dell'orologio...) è probabilmente da attribuire alla sua proprietà (tra le altre) di avere un buon numero di divisori: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 e 30.
    Ecco una simpatica curiosità che mi piacerebbe soddisfare: i Paesi ex Varsavia/URSS che oggi fanno parte della NATO (Albania, Bulgaria, Estonia, Lettonia, Lituania, Polonia, Repubblica Ceca, Romania, Slovacchia, Ungheria), che bussole useranno? Basate sul 60 o sul 64?

    Bene, la mia (lunga) spiegazione è finita, spero di non aver saltato nulla. Se i mod/admin mi dànno il GO (o se mi dànno il tacito assenso non postando nulla per qualche giorno), preparo e pubblico un messaggio sulla teoria e soprattutto i limiti del sistema millesimale per misurare le distanze.

    Ciao!
    Ultima modifica di pimple; 06-11-17 alle 15: 46

  4. #74
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    Predefinito

    Ciao pimple! Certamente chi contribuisce ad arricchire il Forum è ben accetto, e non saremo certo noi moderatori a censurare informazioni valide che possono essere di interesse comune.
    Prima però di continuare a postare, ti chiedo gentilmente di presentarti nell'apposita sezione, e a leggere il Regolamento del Forum, trovi tutti i link nella mia firma. Grazie e buona continuazione!
    La vita comincia quando non si hanno più certezze

    Se sei un nuovo Utente, ricordati di presentarti nella sezione Benvenuto, Presentati!! e di leggere il Regolamento !

  5. #75

    Predefinito

    Citazione Originariamente Scritto da pimple Visualizza Messaggio
    Ho letto su questa pagina che tale valore è stato standardizzato dai militari statunitensi (NATO?), mentre i Paesi arabi e quelli russi (sovietici? Patto di Varsavia?) hanno scelto il valore tondo 6000. Si tratta di un'approssimazione ancor meno precisa dato che ha uno scarto di 280 unità rispetto al valore reale, mentre il nostro 6400 ne ha uno di 120 unità, ma 60 è comunque un ottimo numero. Come mi fece notare il professore di algebra 9 anni fa, il fatto che nella storia siano sorti vari sistemi numerali basati sul 60 (quello babilonese, quello dell'orologio...) è probabilmente da attribuire alla sua proprietà (tra le altre) di avere un buon numero di divisori: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 e 30.
    Ecco una simpatica curiosità che mi piacerebbe soddisfare: i Paesi ex Varsavia/URSS che oggi fanno parte della NATO (Albania, Bulgaria, Estonia, Lettonia, Lituania, Polonia, Repubblica Ceca, Romania, Slovacchia, Ungheria), che bussole useranno? Basate sul 60 o sul 64?
    Grazie del contributo, molto esaustivo.
    Ti chiedo se, secondo te, il fatto che i russi usino suddividere sugli strumenti l'angolo in 400° anziché 360°, abbia una ragione trigonometrica specifica o se semplicemente erano di cattivo umore il giorno in cui l'hanno deciso Graze

  6. #76

    Predefinito

    Grazie beowuff, ho provveduto a presentarmi come da te richiesto
    Citazione Originariamente Scritto da Sinanju Visualizza Messaggio
    Ti chiedo se, secondo te, il fatto che i russi usino suddividere sugli strumenti l'angolo in 400° anziché 360°, abbia una ragione trigonometrica specifica
    Dividendo l'angolo giro in 400 gradi si ottengono i gradi centesimali. Hanno (soprattutto?) tre vantaggi:
    1. la cifra delle centinaia fa capire al volo di che quadrante stai parlando;
    2. il controazimut lo ottieni sommando (o sottraendo) 200 all'azimut;
    3. il metro era in passato definito come 1/10000000 della distanza tra polo nord ed equatore passando per Parigi: ciò vuol dire che 100 km lungo un cerchio massimo (un meridiano o l'equatore) equivalgono a un grado (vertice al centro della terra).

    Il terzo punto, utile ai navigatori che percorrono grandi distanze, ha i suoi "difetti matematici": la misura del meridiano di Parigi che fu usata per definire il metro era sbagliata; equatore e meridiani hanno la stessa lunghezza solo se consideri la Terra una sfera perfetta. Inoltre l'odierna definizione del metro è basata sulla velocità della luce, quindi il vero metro potrebbe aver cambiato dimensione. Come ciò di cui parlerò nel prossimo post, si tratta solo di sottigliezze, quindi direi che il grado centesimale ha ancora i suoi bei vantaggi in navigazione

  7. #77

    Predefinito Perché funziona?

    --Premessa--
    Prima di continuare, mi son reso conto che forse è bene specificare una cosa: non voglio essere causa di errori in sede di esame/addestramento/attività sul campo da parte di chiunque dovesse leggere i miei messaggi! Se qualcosa viene insegnato in un certo modo da chi di dovere, evidentemente qualcuno più importante di me ha stabilito che quello è il modo più congeniale all'attività che si andrà svolgere. Queste informazioni sono da intendere come informazioni di corredo, per soddisfare curiosità sulla matematica che sta dietro al metodo usato o dubbi come quello di CRS sul perché del nome.
    --Fine Premessa--

    In questo post espliciterò perché i gradi millesimali funzionano, per poi cercare di evidenziare la differenza in metri tra arco e corda. Le informazioni fornite in questo post sono inutili sul campo, quindi chi non è interessato alla teoria può pure saltarlo. (probabilmente posterò un altro messaggio il cui contenuto è più vicino agli usi pratici.) Questo sarà un post lungo e ci saranno calcoli, ma spero di non aver commesso troppi errori!

    La pratica
    Come si usano i gradi millesimali? La formula per la "misurazione pratica" è già stata data: d = l / a, dove d è la distanza in chilometri tra osservatore e oggetto osservato, l è la larghezza dell'oggetto osservato, a è l'angolo misurato da un estremo all'altro dell'oggetto. Suppongo che il motivo per cui la formula funziona apparirà ovvio a tutti, ma per completezza lo scrivo esplicitamente.
    Due concetti fondamentali:
    a) Ovviamente la definizione di millesimo vale anche per oggetti più grandi di 1 m: alla distanza di 1 km, un oggetto di 2 m permetterà di misurare un angolo di 2°° (dopotutto, è come se fossero due oggetti di 1 m affiancati). In altre parole, a 1 km si ha la corrispondenza tra la larghezza in metri del bersaglio e il numero di millesimi dell'angolo staccato.
    b) Ugualmente, se alla distanza di 1 km occorrerà un oggetto di 1 m per staccare un angolo di 1°°, allora alla distanza di 2 km servirà un oggetto di 2 m per staccare lo stesso angolo (volendo, si può dire che le due semirette che formano l'angolo "si allontanano" di 1 m ogni 1 km). Guardando la figura:

    I due triangoli OAB e OA'B' sono detti simili (cioè hanno gli stessi angoli), quindi il rapporto tra la misura della base AB e quella della base A'B' è lo stesso che che si ha tra le misure delle altezze OH e OH'.
    Per mettere in pratica questi due concetti, presento il caso tipico dell'oggetto di dimensioni note (ad esempio un edificio) di cui voglio calcolare la distanza da me. Perché il metodo dia un buon risultato, devo cercare di posizionarmi il più possibile equidistante dai due estremi dell'edificio che userò per misurare l'angolo.
    1. So che sto osservando un edificio largo 30 m.
    2. Misuro l'angolo staccato dalle sue estremità, vale 12°° (che occhio!).
    3. Ora mi chiedo: un oggetto alla distanza di 1 km, quanto dovrebbe essere largo per staccare lo stesso angolo? Dal punto a) so che dovrebbe essere largo 12 m.
    4. Posso ora calcolare la distanza tra me e l'edificio: dal punto b) so che il rapporto tra 30 e 12 è lo stesso che esisterà tra la distanza incognita (in km) e 1, ovvero
      30 m : 12 m = x km : 1 km

      risolvendo la proporzione trovo x = 2.5, l'edificio sta a due chilometri e mezzo!

    Ecco ricavata la formula postata da bacioch nella prima pagina del thread
    Citazione Originariamente Scritto da bacioch Visualizza Messaggio
    distanza(km)= dimensione oggetto(metri):angolo in °°
    Il metodo postato da Ippogrifo nella pagina precedente è esattamente uguale, ma osservatore e oggetto osservato vengono scambiati: so quanto è lunga la base AB perché l'ho decisa io.
    Da questo punto in poi, il mio messaggio tratterà pura teoria.

    Il problema
    Nel post precedente ho detto che la definizione alla base del grado millesimale è 1°° = 1 rad / 1000 (non me lo sono inventato io eh, è un'informazione che potete verificare velocemente sul web ). Questo cozza con la definizione più famosa (che ho appena usato nella sezione precedente), secondo cui un grado millesimale è l'angolo formato dai due estremi P0 e P1 di un segmento di un metro, quando questo è posto a un chilometro dall'osservatore (che occupa il vertice dell'angolo). Quindi nel primo caso un grado dà la misura dell'arco di circonferenza P0P1, mentre nel secondo dà la misura del segmento (corda di circonferenza) P0P1. Come tutti sanno, le due misure, e conseguentemente le due definizioni, non sono matematicamente equivalenti! Ma sul campo saranno entrambe valide, purché sia rispettata una condizione: l'angolo misurato non dev'essere "troppo grande". Quanto? Beh, questo dipende dalla precisione richiesta, e ne parlerò meglio nel terzo (e ultimo) post! In questo post calcolerò la differenza tra arco e corda per un angolo di 1°° (ve lo anticipo: è praticamente inesistente).
    Nota: Quando parlo di millesimi, mi riferisco al millesimo "teorico" (π * 2000°° in un angolo giro), e non quello che leggiamo sulla bussola (6400°° in un angolo giro). Nuovamente, i millesimi della bussola li tratterò nel post successivo

    La teoria
    Prima di procedere, devo introdurre le due funzioni principali della trigonometria: seno e coseno. Il vantaggio della scala millesimale è proprio la possibilità di non usare le funzioni trigonometriche, ma queste si rendono necessarie quando vogliamo calcolare l'errore della misurazione.
    Vi presento le misure trigonometriche.

    Anzitutto il seno. Teoricamente il seno di un angolo theta (θ) è il rapporto tra il segmento BC e il raggio r. Se il raggio è pari all'unità (qualsiasi sia la nostra unità di misura: metri, chilometri, pompelmi...), allora sen(θ) varrà proprio quanto il segmento BC, ovvero C', proiezione di C sull'asse y delle ordinate (verticale). Si vede ad occhio che sen(0°) = 0 / r = 0 e sen(90°) = r / r = 1.
    Similmente il coseno. Stavolta il rapporto è OB/r (oppure OB/OA). Usando sempre il raggio come unità, allora cos(θ) varrà proprio quanto il segmento OB, ovvero la proiezione di C sull'asse x delle ascisse (orizzontale). Si vede ad occhio che cos(0°) = r / r = 1 e cos(90°) = 0 / r = 0.
    Come si calcolano seno e coseno di un angolo generico? Con la calcolatrice!
    Visto che è presente nella figura, parlo anche di tangente, dato che può tornare utile in topografia: è il segmento AF. Si vede ad occhio che tan(0°) = 0 e tan(90°) = infinito. Come si calcola tan(θ)? Beh, la definizione formale è tan(θ) = sen(θ) / cos(θ), quindi anche in questo caso serve la calcolatrice!
    In figura è rappresentata la cotangente, che si rivela essere il reciproco della tangente: cotan(θ) = 1 / tan(θ) = cos(θ) / sen(θ). Non è necessaria, così come non lo sono senoverso (verde scuro) e cosenoverso (fucsia).

    I conti
    È già una fatica (e vedo che il post sta occupando un sacco di spazio nella pagina), ma ho tutt'altro che finito. Procediamo a calcolare la differenza tra corda AB e arco AB a un chilometro di distanza. Mi avvarrò di questa figura:

    Quest'immagine non è in scala! Se volete fare i para**lo e il vostro interlocutore non è un tipo sveglio, potete dire che è in scala, ma larghezza e altezza usano due scale diverse. Se il vostro interlocutore è un tipo sveglio, vi farà notare che in quel caso l'arco dovrebbe apparire deformato.

    Ricordiamo che una misura in radianti è pari al rapporto tra arco e raggio, quindi si ha un angolo di 1 rad quando arco e raggio sono uguali, ovvero [arco]AB = OO' = OA = OB = r, e che 1 rad = 1000°°. Supponiamo di sapere che r = 1 km = 1000 m e θ = 1°° = 1 / 1000 rad: l'arco AB varrà 1000 m * (1 / 1000) = 1 m, come ci aspettavamo.
    Calcoliamo ora la corda AB:
    AB = 2 * AO'' = 2 * sin(θ / 2) * r
    Dato che θ / 2 = 1 / 2000 rad, dobbiamo calcolare sin(0.0005) con la calcolatrice (purtroppo, le calcolatrici ci obbligano a usare i radianti o i gradi sessagesimali), ottenendo un valore di 0.000499999. Andandolo a inserire nella formula, abbiamo:
    2 * sin(θ / 2) * r = 2 * 0.000499999 * 1000 m = 2 * 0.499999 m = 0.999998 m
    Dato che i gradi millesimali sono utili soprattutto per misurare le distanze, calcoliamo quindi il segmento OO''. Ci serve il coseno di θ / 2, ovvero in radianti cos(0.0005) = 0.999999875 e la formula sarà
    OO'' = cos(θ / 2) * r = 0.999999875 * 1000 m = 999.999875 m
    Tutto ok! Per angoli piccoli la differenza è quasi inesistente, ma abbiamo calcolato che effettivamente (come ovvio) uno scostamento c'è!

    Per oggi direi che mi posso fermare qui, e in effetti la teoria è tutta qui, ma potrei sempre fare un post con una tabella per apprezzare meglio il tasso d'errore al variare dell'angolo (cioè della distanza o della larghezza dell'oggetto osservato). Vi chiedo scusa se il post è uscito troppo lungo, ma ho voluto mostrare più dettagli possibile.

    Ciao!

  8. #78

    Predefinito Quanto è affidabile?

    Ok. Non essendo arrivata alcuna richiesta di chiarimenti, direi che posso proseguire con il terzo e ultimo post sull'argomento "teoria dei millesimi", dove finalmente parlerò dei millesimi che usiamo nel mondo reale (6400). Come già detto, l'uso del millesimo "teorico" dà risultati esatti su archi di circonferenza, ma i valori ottenuti per angoli piccoli sono molto vicini alla misura delle relative corde sottese; idem per quanto riguarda la distanza dall'osservatore. Passando dal millesimo "teorico" a quello "pratico" si aggiunge un'ulteriore approssimazione, comunque molto buona.
    Anzitutto ho pensato di mettere insieme un po' di riferimenti sulla rassicurazione dello scorso post: non mi sono inventato nessuna favola, si può trovare la stessa definizione del millesimo con una rapida ricerca su Google (meglio se in Inglese), tipo qui, qui, qui (dove impariamo che in realtà i 6000 millesimi del sistema russo son nati in maniera totalmente diversa dai nostri 6400), qui (oltre a spiegarlo a inizio video, l'istruttore lo ribadisce anche a 16:17), qui (sì, anche i tiratori oltre agli artiglieri apprezzano la praticità del millesimo) e di sicuro anche altrove.
    Qui apro una piccola e onesta digressione. Mentre cercavo questi collegamenti, ho trovato una e una sola voce fuori da coro, un post (in Italiano) che sostiene esista una netta differenza tra milliradianti e millesimi: i primi sarebbero i millesimi di radiante come visto finora, mentre i secondi sarebbero i 6400 della bussola, numero che porterebbe precisamente al rapporto 1°° / 1km / 1m per una corda di circonferenza. Per come la vedo io, dato che nessuno è sceso dal cielo con la conoscenza in tasca, ciò che un uomo sa lo deve a due cose: ciò che gli è stato trasmesso dagli altri, e ciò che ha misurato di persona. Non mi sento quindi di dire che l'autore di quel messaggio abbia torto: semplicemente, io e lui abbiamo imparato due cose diverse e potrebbe anche aver ricevuto questa informazione da una fonte autorevolissima. Purtroppo lui non porta alcuna fonte (se non la sua stessa leggera dose di arroganza), quindi non resta che fare le misurazioni. Fine della digressione, riprendo con la mia spiegazione.
    Mi teletrasporto a Chamdo, davanti alla pista di decollo/atterraggio più grande al mondo, e voglio misurare quanto dista da me. So che la sua lunghezza totale è 5500 m e la bussola mi dà un angolo di 3000°° (praticamente occupa tutto il mio campo visivo). Bene, usando la formula "pratica" (d = l / a) ottengo una distanza di quasi 2 km, 1833 m. La misura non mi sembra tanto corretta, e continuo per i fatti miei in cerca di un buon ristorante. Tornato a casa cerco un calcolatore di distanze tipo questo, faccio la conversione in sessadecimali (3000 * 360 / 6400 = 168.75) e scopro che la pista stava a circa 271 metri da me. Disperazione! La bussola è rotta! No, semplicemente ho misurato un angolo troppo grande per usare la formula "pratica", mi sarebbe piuttosto tornata utile la trigonometria! E allora vediamola, 'sta trigonometria!
    Si immagini di occupare una data posizione A e di voler misurare la distanza da un segmento BC, misurando tra i suoi estremi un angolo θ. Schematizzato:

    Tracciando la bisettrice di θ, che (se vi siete posizionati bene) incontra BC nel suo punto medio H, si ottiene il triangolo rettangolo AHC con CH = HB, molto comodo per fare dei calcoli trigonometrici. Immaginando che l'angolo θ definisca un settore della circonferenza goniometrica, si ha che AB e AC sono il vecchio raggio r. Per calcolare la lunghezza del segmento AH, occorre ricordare le formule per seno e coseno:
    sen(θ/2) = CH / AC
    cos(θ/2) = AH / AC
    da cui deriviamo AH = cos(θ/2) * AC. La lunghezza AC non è nota, ma la si può ricavare dalla formula del seno: AC = CH / sen(θ/2). La formula diventa quindi
    AH = cos(θ/2) * CH / sen(θ/2) = CH / tan(θ/2)

    Le bussole dotate di clinometro sono talvolta accompagnate da una tabella di riferimento con i valori della tangente per diversi angoli, cosa che può tornare molto utile anche nel nostro caso se non si ha una calcolatrice con sé.
    Ok, la formula "pratica" (d = l / a) è affidabile solo per angoli piccoli, ma piccoli quanto? Ho preparato una tabella esemplificativa per BC = 1:

    Tutte le distanze sono in metri
    Le righe 4, 7 e 13 portano alcuni valori di esempio per l'angolo misurato; nella riga 5 riporto i valori calcolati con la formula pratica; le righe in violaceo presentano i calcoli per quando si considera l'angolo come espresso in millesimi "teorici", mentre quelle in bluastro si riferiscono ai millesimi della bussola, così da permettere un confronto per i più curiosi; le righe 8-9 e 14-15 convertono l'angolo in radianti e poi lo dividono a metà; le righe 10 e 16 calcolano la distanza reale dall'oggetto osservato usando la formula trigonometrica data qui sopra; le righe 11 e 17 dànno la differenza (in valore assoluto) tra valore reale e valore calcolato con la formula pratica; dato che questa differenza cambia in base alle dimensioni dell'oggetto osservato (1 m in tabella), nelle righe 19 e 20 ho presentato gli errori percentuali, che non subiscono questo cambiamento.
    Si nota subito che usando i millesimi "teorici", per angoli piccoli, la formula pratica darebbe risultati migliori di quelli che dà usando i millesimi segnati dalla bussola. Per angoli grandi, è il contrario. È un bene? È un male? Nessuno dei due, semplicemente 6400 è un comodo standard e quindi continuiamo a usarlo, soprattutto considerando che gli errori restano comunque sempre simili!
    Volendo sfruttare questi calcoli per ottenere una misura più precisa, si può notare che i valori della riga 20 sono compresi tra 1.5% e 2% per angoli fino a 200°°, con la formula pratica che dà misure inferiori a quelle reali. Questo permetterebbe di correggere il valore ottenuto con la formula pratica dividendolo per 0.98 o ancor meglio 0.9825. Difficile da fare a mente, ma se la calcolatrice non ha seno e coseno... È qualcosa. Credo che non sia utile ricordarsi altri valori per angoli più grandi, dato che difficilmente andremo a stimare la distanza da un oggetto che stacca un angolo nell'ordine delle centinaia di millesimi.
    Potete scaricare il file excel con tutte le formule e provare a giocarci un po'. I valori segnati in rosso sono quelli che si possono inserire a mano, gli altri sono ottenuti tramite formule. Ho indicato due angoli speciali (impossibili da misurare con la bussola, e validi per il livello di precisione scelto in questo specifico file): il primo è l'angolo per cui la formula pratica dà lo stesso errore (assoluto) con entrambe le definizioni di millesimo; il secondo è il valore per cui la formula pratica dà un risultato esatto sul campo (atomo più, atomo meno...). Per i più curiosi, nel secondo foglio del file c'è una copia dello specchietto che permette di inserire valori diversi da 6400 per controllare come varierebbero i risultati. Come sempre quando si fa del calcolo a macchina, bisogna tenere conto che oltre ai miei errori concettuali e di distrazione ci potrebbero essere inevitabili errori dovuti all'arrotondamento (chiunque abbia studiato un po' di calcolo scientifico vi confermerà che questi errori esistono sempre quando si usa un calcolatore).
    Le spiegazioni finiscono qui, vi chiedo scusa se ho postato più messaggi di fila ma credo che spiegare tutto in uno sarebbe stato troppo pesante. Vi chiedo scusa anche se mi è scappato qualche errore.
    Tutte queste informazioni sono totalmente teoriche e inutili? Cosa ci portiamo a casa di concreto? Provo a fare una lista:
    1. Anzitutto abbiamo chiarito perché si chiamano millesimi (1 rad / 1000);
    2. Come contorno, abbiamo ripassato un po' di quella trigonometria studiata in terza superiore, che male non fa;
    3. Per i più distratti, abbiamo chiarito il senso della formula d = l / a (triangoli simili e misure di corde approssimate tramite misure di archi);
    4. Abbiamo calcolato che 6400 è sì un valore approssimato (che è totalmente diverso da "scelto a caso"), ma comunque molto buono;
    5. Abbiamo scoperto che è meglio tenere l'angolo misurato il più piccolo possibile (io direi comunque sotto i 700°° o 40°), ma credo che tanto nella pratica nessuno abbia mai stimato la distanza usando angoli nell'ordine delle migliaia di gradi;
    6. Abbiamo trovato un divisore che per angoli sotto i 200°° ci permette di rendere più preciso il valore dato dalla formula d = l / a;
    Bonus: mentre scrivevo il punto 5 ho realizzato che il metodo "inverso", quello che consiste nel traguardare sempre lo stesso oggetto spostandosi tra due punti di osservazione di distanza nota, potrebbe essere migliore perché permette di ridurre l'angolo a piacimento.

    Chiudo ribadendo ciò che ho scritto all'inizio del precedente post:
    --Messaggio Finale--
    Non voglio essere causa di errori in sede di esame/addestramento/attività sul campo da parte di chiunque dovesse leggere i miei messaggi! Se qualcosa viene insegnato in un certo modo da chi di dovere, evidentemente qualcuno più importante di me ha stabilito che quello è il modo più congeniale all'attività che si andrà svolgere. Queste informazioni sono da intendere come informazioni di corredo, per soddisfare curiosità sulla matematica che sta dietro al metodo usato o dubbi come quello di CRS sul perché del nome.
    --Fine Messaggio Finale--

    E infine, due informazioni che cerco in merito al topic:
    1. La ghiera esterna della barker/pyser (quella bianca per intenderci) si può girare liberamente, o gira a scatti? Se gira a scatti, di quanti gradi è ogni scatto?
    2. Qualcuno ha informazioni in merito all'adozione di questo animale (manuale qui) da parte degli artiglieri italiani?

    Ciao!

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